Se localiser avec des distances

Ton téléphone affiche ta position sur une carte, au mètre près, partout sur Terre. Comment fait-il ?

Contrairement à ce qu'on imagine, il ne « voit » rien et il n'est vu par personne. Tout ce qu'il sait faire, c'est mesurer des distances. Et cela suffit. Cette séance montre pourquoi, sans machine, avec un quadrillage et un compas.

Le problème

Un téléphone est perdu quelque part sur ce quadrillage. On dispose de trois points connus, A, B et C, et d'une seule information à la fois : la distance entre le téléphone et chacun d'eux.

Prends une feuille quadrillée (15 carreaux de large), place l'origine, et reporte :

• A en (4, 2)
• B en (11, 6)
• C en (5, 7.5)

Un carreau représente 1 km.

Exercice 1 - Une seule distance

Première information : le téléphone est à 5 km de A.

1. En géométrie, comment s'appelle l'ensemble des points situés à une distance de 5 d'un point A ?
2. Dessine tous les endroits possibles où peut se trouver le téléphone. Combien y en a-t-il ?

Correction

1. C'est le cercle de centre A et de rayon 5.
2. Une infinité : tous les points du cercle conviennent. Une seule distance ne suffit donc pas à localiser quoi que ce soit.

Exercice 2 - Deux distances

Deuxième information : le téléphone est aussi à 4 km de B.

Trace le cercle correspondant. Où peut se trouver le téléphone maintenant ? Combien de possibilités reste-t-il ?

Correction

Le téléphone est à la fois sur le cercle de A et sur celui de B : il est donc sur leur intersection. Les deux cercles se coupent en deux points.

On est passé d'une infinité à deux possibilités. C'est un progrès énorme, mais ce n'est pas encore une position.

Exercice 3 - Trois distances

Troisième information : le téléphone est à 2,5 km de C.

Trace le troisième cercle et conclus : quelles sont les coordonnées du téléphone ?

Correction

Le troisième cercle ne passe que par l'un des deux points précédents. Il départage.

Le téléphone est en (7, 6).

Vérifie : la distance de (7, 6) à A(4, 2) vaut bien 5 ; à B(11, 6) elle vaut 4 ; à C(5, 7.5) elle vaut 2,5.

Ce qu'on vient de faire s'appelle la trilatération

Définition

La trilatération consiste à déterminer une position inconnue à partir de sa distance à trois points connus.

Retiens la progression, c'est tout l'exercice :

Information	Où peut-il être ?
distance à A	sur un cercle : une infinité de points
distance à A et B	sur l'intersection de deux cercles : 2 points
distance à A, B et C	1 seul point

Ne pas confondre avec la triangulation

On entend souvent parler de « triangulation » pour le GPS. C'est faux, et ce n'est pas la même chose.

• La trilatération utilise des distances (c'est ce que fait le GPS).
• La triangulation utilise des angles.

Le GPS ne mesure aucun angle : il ne sait mesurer que des durées, donc des distances. On verra comment à la prochaine séance.

Et dans l'espace ?

Un satellite n'est pas sur ta feuille : il est au-dessus de toi, dans l'espace. La distance à un satellite ne te place donc pas sur un cercle, mais sur une sphère centrée sur lui.

Le raisonnement est exactement le même, avec une dimension de plus :

• 1 satellite : tu es quelque part sur une sphère.
• 2 satellites : tu es sur l'intersection de deux sphères, qui est un cercle dans l'espace.
• 3 satellites : ce cercle coupe la troisième sphère en 2 points seulement.

Et pour ces deux derniers points, un seul est à la surface de la Terre (l'autre est perdu dans l'espace, ou sous terre). Trois satellites suffisent donc, en pratique, pour te localiser.

Exercice 4 - Combien de points ?

1. Deux cercles du plan, de centres distincts, se coupent en combien de points ? Envisage tous les cas.
2. Trois sphères de l'espace, dont les centres ne sont pas alignés, ont une intersection de combien de points ?

Correction

1. En 0, 1 ou 2 points. Zéro s'ils sont trop éloignés (ou l'un dans l'autre) ; 1 s'ils sont juste tangents ; 2 dans le cas général.
2. En 0, 1 ou 2 points, pour les mêmes raisons : l'intersection de deux sphères est un cercle de l'espace, et ce cercle peut couper la troisième sphère en 2 points, la toucher en 1, ou la manquer.

Pourquoi le cas « 0 point » n'arrive jamais dans la vraie vie

Si les mesures étaient parfaites, les trois sphères se couperaient exactement. En réalité, chaque distance est mesurée avec une petite erreur, et les sphères ne se coupent pas en un point unique : elles délimitent une petite zone.

C'est pour ça que ton téléphone affiche parfois un cercle bleu autour de toi plutôt qu'un point net : ce cercle est l'incertitude de la mesure. Plus il est grand, moins la localisation est fiable.

Ce qu'on retient

• Pour se localiser, il suffit de connaître sa distance à des points connus. Aucun angle, aucune image, aucune émission.
• Trilatération : une distance donne un cercle (une infinité de positions), deux distances donnent 2 points, trois distances donnent une position.
• Ne pas confondre avec la triangulation, qui utilise des angles. Le GPS fait de la trilatération.
• Dans l'espace, les cercles deviennent des sphères, et trois satellites suffisent à te localiser (le deuxième point d'intersection n'est pas sur Terre).
• Les mesures étant imparfaites, on obtient une zone d'incertitude, d'où le cercle bleu de ton téléphone.

Et ensuite

Il reste le plus étonnant : comment un téléphone peut-il connaître sa distance à un satellite situé à 20 000 km, sans rien lui envoyer ?