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Conversions depuis la base 10

Conversion d’un nombre en base $10$ vers la base $2$

Pour convertir un entier naturel écrit en base $10$ vers la base $2$, on applique la méthode des divisions successives : on divise le nombre par $2$, on note le reste, puis on recommence avec le quotient jusqu’à ce qu’il soit nul.

L’écriture binaire du nombre est alors obtenue en lisant les restes de bas en haut (du dernier au premier).

Par exemple, pour convertir $13$ en base $2$ :

\[ \begin{aligned} 13 \div 2 &= 6 &\text{reste } 1 \\ 6 \div 2 &= 3 &\text{reste } 0 \\ 3 \div 2 &= 1 &\text{reste } 1 \\ 1 \div 2 &= 0 &\text{reste } 1 \end{aligned} \]

Lecture des restes de bas en haut : $1101$

Donc :

\[ 13_{10} = 1101_2 \]

Convertir de la base 10 à une base \(b\) quelconque

Ce procédé fonctionne exactement de la même manière pour convertir un entier de la base $10$ vers n’importe quelle base entière $b > 1$.

Il faut procéder par divisions successives par \(b\) jusqu'à obtenir un quotient nul.

Exercices : convertir des entiers de la base 10 vers d'autres bases

  1. Convertis \(19_{10}\) en base \(2\)
  2. Convertis \(45_{10}\) en base \(3\)
  3. Convertis \(31_{10}\) en base \(4\)
  4. Convertis \(73_{10}\) en base \(8\)
  5. Convertis \(255_{10}\) en base \(16\)
Corrigé

  1. Divisions successives par \(2\) :
    \(19 \div 2 = 9\) reste \(1\)
    \(9 \div 2 = 4\) reste \(1\)
    \(4 \div 2 = 2\) reste \(0\)
    \(2 \div 2 = 1\) reste \(0\)
    \(1 \div 2 = 0\) reste \(1\)
    Lecture de bas en haut : \(\boxed{10011_2}\)

  2. Divisions successives par \(3\) :
    \(45 \div 3 = 15\) reste \(0\)
    \(15 \div 3 = 5\) reste \(0\)
    \(5 \div 3 = 1\) reste \(2\)
    \(1 \div 3 = 0\) reste \(1\)
    Lecture de bas en haut : \(\boxed{1200_3}\)

  3. Divisions successives par \(4\) :
    \(31 \div 4 = 7\) reste \(3\)
    \(7 \div 4 = 1\) reste \(3\)
    \(1 \div 4 = 0\) reste \(1\)
    Lecture de bas en haut : \(\boxed{133_4}\)

  4. Divisions successives par \(8\) :
    \(73 \div 8 = 9\) reste \(1\)
    \(9 \div 8 = 1\) reste \(1\)
    \(1 \div 8 = 0\) reste \(1\)
    Lecture de bas en haut : \(\boxed{111_8}\)

  5. Divisions successives par \(16\) :
    \(255 \div 16 = 15\) reste \(15\)
    \(15 \div 16 = 0\) reste \(15\)
    En base \(16\), \(15 = F\)
    Lecture de bas en haut : \(\boxed{FF_{16}}\)

Astuce utile : conversion rapide entre la base $16$ et la base $2$

Il existe une astuce simple pour passer rapidement d’un nombre en base $16$ (hexadécimal) à la base $2$ (binaire), et inversement : chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à un groupe de $4$ bits.

Autrement dit, on peut convertir chaque chiffre hexadécimal en son équivalent binaire sur $4$ chiffres, en ajoutant des zéros à gauche si nécessaire.

Par exemple :

\[ \begin{aligned} A_{16} &= 10_{10} = 1010_2 \\ F_{16} &= 15_{10} = 1111_2 \\ 2_{16} &= 2_{10} = 0010_2 \end{aligned} \]

Donc :

\[ 3F_{16} = 0011\ 1111_2 \]

Inversement, pour passer de la base $2$ à la base $16$, on regroupe les chiffres binaires par paquets de $4$, en partant de la droite, puis on convertit chaque groupe en un chiffre hexadécimal.

Par exemple :

\[ 11010110_2 = 1101\ 0110 = D6_{16} \]

Tableau de correspondance

Hexadécimal ($\text{base }16$) Décimal ($\text{base }10$) Binaire ($\text{base }2$ sur 4 bits)
$0$ $0$ $0000$
$1$ $1$ $0001$
$2$ $2$ $0010$
$3$ $3$ $0011$
$4$ $4$ $0100$
$5$ $5$ $0101$
$6$ $6$ $0110$
$7$ $7$ $0111$
$8$ $8$ $1000$
$9$ $9$ $1001$
$A$ $10$ $1010$
$B$ $11$ $1011$
$C$ $12$ $1100$
$D$ $13$ $1101$
$E$ $14$ $1110$
$F$ $15$ $1111$