Conversions vers la base 10

Répétition

Les paragraphes suivants sont en réalité répétitifs, et ne servent qu'à vous faire vous rendre compte de la similarité du procédé.

De la base 2 à la base 10

Conversion d’un nombre binaire (base 2) en décimal (base 10) Un nombre écrit en base 2 est composé uniquement de chiffres \(0\) et \(1\). Chaque chiffre représente une puissance de \(2\), en partant de la droite vers la gauche. Pour convertir un nombre binaire en décimal, on additionne les puissances de \(2\) correspondant aux positions où il y a un \(1\).

Par exemple, le nombre binaire \(1011\) correspond à : \(1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)

Soit : \(8 + 0 + 2 + 1 = 11\) en base 10.

En résumé, pour convertir un nombre binaire en décimal, il suffit de calculer la somme :

\[\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} b_i \times 2^i\]

où \(b_i\) est le chiffre en position \(i\) en partant de la droite (avec \(b_i \in \{0, 1\}\)), et \(n\) est le nombre total de chiffres dans l’écriture binaire.

Exercices : convertir des nombres binaires en base décimale

Convertis le nombre binaire \(1101\) en base 10.
Que vaut le nombre binaire \(10010\) en base 10 ?
Convertis \(111111\) en base 10.
Que donne le binaire \(1010101\) en base 10 ?
Que vaut \(1\) en binaire dans le système décimal ?

Corrigé

\(1101 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = \boxed{13}\)
\(10010 = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = \boxed{18}\)
\(111111 = 1 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = \boxed{63}\)
\(1010101 = 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = \boxed{85}\)
\(1 = 1 \times 2^0 = \boxed{1}\)

De la base 3 à la base 10

Conversion d’un nombre en base 3 (système ternaire) en base 10 Un nombre écrit en base 3 est composé uniquement de chiffres \(0\), \(1\) et \(2\). Comme pour la base 2, chaque chiffre représente une puissance de la base — ici, une puissance de \(3\) — en partant de la droite vers la gauche. Le principe est exactement le même : on multiplie chaque chiffre par la puissance de \(3\) correspondant à sa position, puis on additionne le tout.

Par exemple, le nombre ternaire \(102\) correspond à : \(1 \times 3^2 + 0 \times 3^1 + 2 \times 3^0\)

Soit : \(9 + 0 + 2 = 11\) en base 10.

En résumé, pour convertir un nombre en base 3 en décimal, on applique la même formule que pour la base 2, en remplaçant \(2\) par \(3\) dans les puissances :

\[\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_i \times 3^i\]

où \(a_i\) est le chiffre en position \(i\) en partant de la droite (avec \(a_i \in \{0, 1, 2\}\)), et \(n\) est le nombre total de chiffres dans l’écriture ternaire.

Exercices : convertir des nombres en base 3 en base décimale

Convertis le nombre ternaire \(102\) en base 10.
Que vaut le nombre \(210\) en base 10 ?
Convertis \(222\) en base 10.
Que donne le ternaire \(1001\) en base 10 ?
Que vaut \(1\) en base 3 dans le système décimal ?

Corrigé

\(102 = 1 \times 3^2 + 0 \times 3^1 + 2 \times 3^0 = 9 + 0 + 2 = \boxed{11}\)
\(210 = 2 \times 3^2 + 1 \times 3^1 + 0 \times 3^0 = 18 + 3 + 0 = \boxed{21}\)
\(222 = 2 \times 3^2 + 2 \times 3^1 + 2 \times 3^0 = 18 + 6 + 2 = \boxed{26}\)
\(1001 = 1 \times 3^3 + 0 \times 3^2 + 0 \times 3^1 + 1 \times 3^0 = 27 + 0 + 0 + 1 = \boxed{28}\)
\(1 = 1 \times 3^0 = \boxed{1}\)

De la base 4 à la base 10

Conversion d’un nombre en base 4 en base 10 Le procédé est exactement le même que pour la base 2 ou la base 3 : chaque chiffre représente une puissance de la base, ici la base \(4\), en partant de la droite vers la gauche. Les chiffres autorisés en base 4 sont \(0\), \(1\), \(2\) et \(3\).

Exercices : convertir des nombres en base 4 en base décimale

Convertis le nombre \(123\) (base 4) en base 10.
Que vaut \(321\) (base 4) en base 10 ?
Convertis \(33\) (base 4) en base 10.
Que donne \(1002\) (base 4) en base 10 ?
Que vaut \(1\) en base 4 dans le système décimal ?

Corrigé

\(123 = 1 \times 4^2 + 2 \times 4^1 + 3 \times 4^0 = 16 + 8 + 3 = \boxed{27}\)
\(321 = 3 \times 4^2 + 2 \times 4^1 + 1 \times 4^0 = 48 + 8 + 1 = \boxed{57}\)
\(33 = 3 \times 4^1 + 3 \times 4^0 = 12 + 3 = \boxed{15}\)
\(1002 = 1 \times 4^3 + 0 \times 4^2 + 0 \times 4^1 + 2 \times 4^0 = 64 + 0 + 0 + 2 = \boxed{66}\)
\(1 = 1 \times 4^0 = \boxed{1}\)

De la base 16 à la base 10

Conversion d’un nombre en base 16 en base 10 Le procédé est exactement le même que pour les autres bases : chaque chiffre représente une puissance de la base, ici la base \(16\), en partant de la droite vers la gauche. Comme on a besoin de \(16\) chiffres différents, on utilise les chiffres \(0\) à \(9\) pour les dix premières valeurs, puis les lettres \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) et \(F\) pour représenter respectivement les valeurs décimales \(10\), \(11\), \(12\), \(13\), \(14\) et \(15\).

Exercices : convertir des nombres hexadécimaux en base décimale

Convertis le nombre \(1A\) (base 16) en base 10.
Que vaut \(2F\) (base 16) en base 10 ?
Convertis \(B4\) (base 16) en base 10.
Que donne \(3E8\) (base 16) en base 10 ?
Que vaut \(F\) en base 16 dans le système décimal ?

Corrigé

\(1A = 1 \times 16^1 + A \times 16^0 = 1 \times 16 + 10 = \boxed{26}\)
\(2F = 2 \times 16^1 + F \times 16^0 = 2 \times 16 + 15 = \boxed{47}\)
\(B4 = B \times 16^1 + 4 \times 16^0 = 11 \times 16 + 4 = \boxed{180}\)
\(3E8 = 3 \times 16^2 + E \times 16^1 + 8 \times 16^0 = 3 \times 256 + 14 \times 16 + 8 = 768 + 224 + 8 = \boxed{1000}\)
\(F = 15 \times 16^0 = \boxed{15}\)

Synthèse - Conversion d’un nombre en base \(n\) en base 10

Le procédé est toujours le même, quelle que soit la base utilisée : chaque chiffre du nombre représente une puissance de la base \(n\), en partant de la droite vers la gauche. Les chiffres autorisés dépendent de la base : en base \(n\), on utilise les entiers de \(0\) jusqu’à \(n - 1\). Pour les bases supérieures à \(10\), on introduit des lettres pour compléter les chiffres manquants : par exemple, en base \(16\), on utilise les lettres \(A\) à \(F\) pour représenter les valeurs décimales de \(10\) à \(15\).

La conversion utilise la formule suivante :

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{k-1} a_i \times n^i\)

où :

\(n\) est la base de départ,

\(a_i\) est le chiffre situé en position \(i\) en partant de la droite,

\(k\) est le nombre total de chiffres dans l’écriture,

et \(a_i \in {0, 1, \dots, n-1}\) (ou valeurs équivalentes avec des lettres si \(n > 10\)).

Ce principe fonctionne pour toutes les bases entières strictement supérieures à \(1\) (base 2, 3, 4, 8, 10, 16, etc.).

Exercices

Exercices : plus grand entier représentable avec \(k\) chiffres

Quel est le plus grand entier que l’on peut écrire avec \(4\) chiffres en base \(2\) ?
Quel est le plus grand entier que l’on peut écrire avec \(3\) chiffres en base \(8\) ?
Quel est le plus grand entier que l’on peut écrire avec \(2\) chiffres en base \(16\) ?
Quel est le plus grand entier que l’on peut écrire avec \(5\) chiffres en base \(10\) ?
Donne la formule générale pour le plus grand entier représentable avec \(k\) chiffres en base \(n\). (à savoir)

Corrigé

En base \(2\), les chiffres vont de \(0\) à \(1\), donc le plus grand nombre à \(4\) chiffres est \(1111_2\) :
\(1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = \boxed{15}\)
En base \(8\), les chiffres vont de \(0\) à \(7\), donc le plus grand nombre à \(3\) chiffres est \(777_8\) :
\(7 \times 8^2 + 7 \times 8^1 + 7 \times 8^0 = 448 + 56 + 7 = \boxed{511}\)
En base \(16\), les chiffres vont de \(0\) à \(F\) (soit \(15\)), donc le plus grand nombre à \(2\) chiffres est \(FF_{16}\) :
\(15 \times 16^1 + 15 \times 16^0 = 240 + 15 = \boxed{255}\)
En base \(10\), les chiffres vont de \(0\) à \(9\), donc le plus grand nombre à \(5\) chiffres est \(99999\) (déjà en base 10) :
\(\boxed{99999}\)
En général, le plus grand entier représentable avec \(k\) chiffres en base \(n\) est donné par la formule :
\(\(n^k - 1\)\)